题目

2021年12月17日，工信部发布的“十四五“促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业下表是某地各年新增企业数量的有关数据： 年份(年) 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码(x) 1 2 3 4 5 新增企业数量：(y) 8 17 29 24 42 参考公式：回归方程 中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为 ， （1） 请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量； （2） 若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望． 答案： 解： x¯=1+2+3+4+55=3 ， y¯=8+17+29+24+425=24 ， ∑i=15(xi−x¯)(yi−y¯)=(−2)×(−16)+(−1)×(−7)+0×5+1×0+2×18=75 ， ∑i=15(xi−x¯)2=4+1+0+1+4=10 ， 所以 b^=∑i=15(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=15(xi−x¯)2=7510=7.5 ， a^=y¯−b^x¯=1.5 ， 所以 y^=1.5+7.5x ． 2023年，即当 x=7 时，由线性回归方程可得 y^=54 ， 所以估计2023年此地新增企业的数量的为54家． 解：由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3， 因为 P(X=0)=C33C73=135 ， P(X=1)=C41C32C73=1235 ， P(X=2)=C42C31C73=1835 ， P(X=3)=C43C73=435 ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 所以 EX=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127 ．

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