题目

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE​ （1） 求证：△ABC∽△CBD； （2） 求证：直线DE是⊙O的切线． 答案： 证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BDC，又∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC； 证明：连结DO，如图，​∵∠BDC=90°，E为BC的中点，∴DE=CE=BE，∴∠EDC=∠ECD，又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．

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