题目

已知在平面直角坐标系 中，抛物线 的准线方程是 . （1） 求抛物线的方程； （2） 设直线 与抛物线相交于 两点， 为坐标原点，证明：以 为直径的圆过原点. 答案： 解：由抛物线 y2=2px(p>0) 的准线方程为 x=−p2 ， 则 −p2=−12 ，则 p=1 ， ∴抛物线方程为 y2=2x 证明：设 M(x1,y1),N(x2,y2) ， 由 {y=k(x−2)y2=2x ，消去 y 整理得 k2x2−2(2k2+1)x+4k2=0 ， ∴x1x2=4 ， 由 y12=2x1,y22=2x2 ，两式相乘，得 (y1y2)2=4x1x2 ， 注意到 y1,y2 异号，所以 y1y2=−4 ， 则 OM→⋅ON→=x1x2+y1y2=0, ∴OM⊥ON ， ∴∠MON=90∘ ， 所以以 MN 为直径的圆过原点．

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