题目

在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图． （1） 当⊙O的半径为2时， ①在点M ，N（0，1），T 中，⊙O的“完美点”是▲； ②若⊙O的“完美点”P在直线y= x上，求PO的长及点P的坐标； （2） ⊙C的圆心在直线y= x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围． 答案： 解：①N，T ②如图1： 根据题意， |PA−PB|=2 ∴ |OP+2−(2−OP)|=2 ∴OP=1 若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q ∵点P在直线 y=3x 上 ∴设 P(x，3x) ∴ OQ=x ， PQ=3x ∵OP=1， OQ2+PQ2=OP2 ∴OQ= 12 ，PQ= 32 ∴ P(12，32) 若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为 (−12，-32) 综上所述，PO的长为1，点P的坐标为 (12，32) 或 (−12，−32) 解：对于⊙C的任意一个“完美点”P都有 |PA−PB|=2 ∴ |CP+2−(2−CP)|=2 ∴CP=1 ∴对于任意的点P，满足CP=1，都有 |CP+2−(2−CP)|=2 ，即 |PA−PB|=2 故对于任意的点P，满足CP=1时点P为⊙C的“完美点”． 因此，⊙C的“完美点”构成以点C为圆心，1为半径的圆． 设直线 y=3x+1 与y轴交于点D，如图2： 当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小． 设切点为E，连接CE ∴ CE⊥DE ∵⊙C的圆心在直线 y=3x+1 上 ∴此直线和y轴，x轴的交点分别是D（0，1），F (−33，0) ∴OF= 33 ，OD=1 ∵ OF⊥DE ∴CE∥OF ∴ △DOF∽△DEC ∴ ODDE=OFCE ∴ 1DE=331 ∴DE= 3 ∴OE= 3−1 ∴t的最小值为 1−3 ． 当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大． 同理可得：t的最大值为 1+3 综上所述，t的取值范围为 1−3≤t≤1+3

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