题目

已知函数 ， ，其中e为自然对数的底数． （1） 求函数 在x 1处的切线方程； （2） 若存在 ，使得 成立，其中 为常数，求证： ； （3） 若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围． 答案： 解：（1）因为 ，所以 ，故 ．所以函数 y=f(x)g(x) 在x = 1处的切线方程为 ，即 ．             由已知等式 得 ．记 ，则 ．假设 ．①若 ，则 ，所以 在 上为单调增函数．又 ，所以 ，与 矛盾．        ②若 ，记 ，则 ．令 ，解得 ．当 时， ， 在 上为单调增函数；当 时， ， 在 上为单调减函数．所以 ，所以 ，所以 在 上为单调增函数．又 ，所以 ，与 矛盾．综合①②，假设不成立，所以 ．      由 f(x)g(x)≤a(x−1) 得 ．记 ， ，则 ．①当 时，因为 ， ，所以 ，所以 在 上为单调增函数，所以 ，故原不等式恒成立．          法一：②当 时，由（2）知 ， ，当 时， ， 为单调减函数，所以 ，不合题意．       法二：②当 时，一方面 ．另一方面， ， ．所以 ，使 ，又 在 上为单调减函数，所以当 时， ，故 在 上为单调减函数，所以 ，不合题意．           综上， ．

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