题目

如图1，在等腰梯形 中， 分别为 的中点.现分别沿 将 和 折起，使得平面 平面 ，平面 平面 ，连接 ，如图2． （1） 求证：平面 平面 ； （2） 求多面体 的体积． 答案： 解：在 ΔCBE 中，点 N 和 M 分别是 BC 和 CE 的中点，则 MN∥BE ， 又 MN⊂ 平面 BEA ，所以 MN// 平面 BEA 依题意有 ΔABE,ΔBCE,ΔECD 均为边长为2的正三角形，所以 MD⊥CE ， 又平面 ECD⊥ 平面 BCE ，则 MD⊥ 平面 BCE ， 又平面 ABE⊥ 平面 BCE ，所以 MD∥ 平面 BEA . 又 DM∩MN=M,MD⊂ 平面 DMN,MN⊂ 平面 DMN ， 所以平面 DMN∥ 平面 BEA . 解：如图所示，连接 BD ，作 CH⊥BE 于 H ， 由（1）知， MD∥ 平面 BEA ， 则点 D 到平面 BEA 的距离 d 等于点 M 到平面 BEA 的距离，等于点 C 到平面 BEA 距离的 12 ， 即 d=12CH=32 . 则 VABCDE=VD−ABE+VD−BCE=13×34×4×(32+3)=32 . 所以多面体 ABCDE 的体积为 32 .

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