题目

    （1） 如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE= BC． （2） 利用第（1）题的结论，解决下列问题： ①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE= （AD+BC） ②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值． 答案： 解：如下图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF， ∵D、E分别是AB、AC的中点 ∴ AE=CE ，AD=BD 在 △ADE 和 △CFE 中 {AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF ∴ △ADE≌△CFE（SAS） ∴∠A=∠ECF，AD=CF ∴CF∥AB 又∵AD=BD ∴CF=BD ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DF=BC，DE∥BC ∵EF=DE ∴DE= 12 DF= 12 BC ∴DE∥BC，DE= 12 BC 解：①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M ∵AD∥BC ∴ ∠DAF=∠M ∵F分别是CD的中点 ∴DF=FC ∵ ∠AFD=∠MFC ∴ △ADF≌△MCF(AAS) ∴ CM=AD ∴BM=AD+BC ∵E、F分别是AB、CD的中点 ∴EF∥BC，FE= 12 BM ∴EF∥BC，FE= 12 （AD+BC） ②解：连接DM ∵点E，F分别为MN，DN的中点 ∴由（1）知EF= 12 DM ∴DM最大时，EF最大 ∵M与B重合时DM最大 ∴DM=DB= AD2+AB2 =6 ∴EF的最大值为3．

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