题目

如图所示，在竖直平面内存在ABEFGCD轨道，圆弧轨道在E点与水平的BE轨道相切，在G点与水平的GC轨道相切，F为圆弧轨道的最高点，圆弧轨道的左右两侧略微错开，B、C两处平滑连接，AB、CD轨道与水平面的夹角均为 ，圆弧轨道半径为R， ， ，AB、CD轨道足够长。质量为m的小物块与BE、GC段的动摩擦因数为 ，与圆弧、AB段、CD段的摩擦忽略不计。小物块从E点以水平向右的初速度 出发，试就 的不同条件讨论下列问题： （1） 若 ，求小物块在圆弧E点时对轨道的作用力大小和方向； （2） 若 ， ，求小物块在CD轨道上上升的最大高度h； （3） 若小物块以初速度 向右出发，只能通过最高点F两次，且整个运动过程都不脱离轨道，试求满足条件的 的取值范围。 答案： 在圆弧E点时，由牛顿第二定律有 NE−mg=mv02R 可得 NE=2mg 故小物块对圆弧E点的作用力大小为2mg，方向竖直向下 小物块经过最高点F应满足 mg≤mvF2R 由动能定理有 −mg⋅2R=12mv12−12mv02 可得 v1=gR 满足条件可过最高点F，之后经过GC段后滑上CD轨道，由动能定理可得 −μmgR−mgh=0−12mv02 求得 h=74R 之后物块由于摩擦，在CD上上升的高度都不及第一次高，故 hmax=74R 过F点需满足 mg≤mvF2R 则有 12mvF2≥12mgR 而 12mv02=245mgR>2mgR+12mgR=52mgR 故小物块第一次必能过F点。小物块第二次经过F需满足 12mv02−2μmgR≥52mgR 可得 μ≤2320 之后不再能到达F点且不脱离轨道，需满足 12mv02−4μmgR≤mgR 可得 μ≥1920 由于 0<μ⩽1 ，故可得 1920≤μ≤1

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