题目

已知函数 有两个零点 ， ，且 . （1） 求 的取值范围； （2） 证明： . 答案： 解： f′(x)=2lnx+2−a ，由 f′(x)=0 得 x=ea−22 ， 当 x>ea−22 时， f′(x)>0 ，即 f(x) 在 (ea−22,+∞) 上单调递增； 当 0<x<ea−22 时， f′(x)<0 ，即 f(x) 在 (0,ea−22) 上单调递减； ∴f(x) 在 x=ea−22 处取得最小值 f(ea−22)=1−2ea−22<0 ，解得 a>2−2ln2 . ∵ea2>ea−22 ， f(ea2)=1>0 ， ∴f(x) 在 (ea−22,+∞) 上有1个零点； ∵a>2−2ln2 ， ∴14a<12<ea−22 ， f(14a)=14a(2ln14a−a)+1 ，令 14a=t∈(0,12) ，则 f(t)=t(2lnt−14t)+1 ， f′(t)=2(lnt+1) ， ∴f(t)≥f(1e)=34−2e>0 ， ∴f(14a)>0 ， ∴f(x) 在 (14a,ea−22) 上有1个零点， 综上， a 的取值范围是 (2−2ln2,+∞) 解：由 f(x)=0 得 2lnx+1x=a ，令 g(x)=2lnx+1x ，则 x1 ， x2 是 y=g(x) 与 y=a 交点横坐标. g′(x)=2x−1x2=2x−1x2 ，当 0<x<12 时， g′(x)<0 ， g(x) 在 (0,12) 上是减函数，在 (12,+∞) 上是增函数， ∴g(x) 在 x=12 处取得最小值， ∴0<x1<12<x2 ， 设 h(x)=g(x)−g(14x)(x>12) ， ∴h′(x)=−(2x−1)2x2<0 ， h(x) 是减函数， ∴h(x)<h(12)=0 ， ∴g(x)<g(14x) ， ∵x2>12 ， ∴g(x1)=g(x2)<g(14x2) ， ∵x1 、 14x2∈(0,12) ， g(x) 在 (0,12) 上递减， ∴x1>14x2 ，即 4x1x2>1

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