题目

已知函数 ，函数 （ ）. （1） 讨论 的单调性； （2） 证明：当 时， . （3） 证明：当 时， . 答案： 解： g(x) 的定义域为 (0,+∞) ， g′(x)=ax−bx ， 当 a>0 ， b<0 时， g′(x)>0 ，则 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递增； 当 a>0 ， b>0 时，令 g′(x)>0 ，得 x>ba ，令 g′(x)<0 ，得 0<x<ba ，则 g(x) 在 (0,ba) 上单调递减，在 (ba,+∞) 上单调递增； 当 a<0 ， b>0 时， g′(x)<0 ，则 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递减； 当 a<0 ， b<0 时，令 g′(x)>0 ，得 0<x<ba ，令 g′(x)<0 ，得 x>ba ，则 g(x) 在 (0,ba) 上单调递增，在 (ba,+∞) 上单调递减； 解：设函数 h(x)=f(x)−(3x+1) ，则 h′(x)=2x+1+cosx−3 . 因为 x≥0 ，所以 2x+1∈(0,2] ， cosx∈[−1,1] ， 则 h′(x)≤0 ，从而 h(x) 在 [0,+∞) 上单调递减， 所以 h(x)=f(x)−(3x+1)≤h(0)=0 ，即 f(x)≤3x+1 . 解：当 a=b=1 时， g(x)=x−1−lnx . 由（1）知， g(x)min=g(1)=0 ，所以 g(x)=x−1−lnx≥0 ， 即 x≥1+lnx . 当 x>−1 时， (x+1)2>0 ， (x+1)2esinx>0 ， 则 (x+1)2esinx≥1+ln[(x+1)2esinx] ， 即 (x+1)2esinx≥2ln(x+1)+sinx+1 ， 又 (x2+2x+2)esinx>(x+1)2esinx ， 所以 (x2+2x+2)esinx>2ln(x+1)+sinx+1 ， 即 f(x)<(x2+2x+2)esinx .

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