题目

我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为 元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为 元（k为正常数）． （1） 试用x表示S，并求S的取值范围； （2） 求总造价T关于面积S的函数T=f（S）； （3） 如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）． 答案： 解：在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴ |PM|=|MC|⋅tan∠PCM=3(30−x) ，矩形AMPN的面积 S=|PM|⋅|MC|=3x(30−x) ，x∈[10，20]，由x（30﹣x）≤（ x+30−x2 ）2=225，当x=15时，可得最大值为225 3 ，当x=10或20时，取得最小值200 3 ，于是 2003≤S≤2253 为所求． 解：矩形AMPN健身场地造价T1= 37kS ，又△ABC的面积为 4503 ，即草坪造价T2= 12kS(4503−S) ，由总造价T=T1+T2，∴ T=25k(S+2163S) ， 2003≤S≤2253 解：∵ S+2163S≥1263 ，当且仅当 S=2163S 即 S=2163 时等号成立，此时 3x(30−x)=2163 ，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低

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