题目

按要求证明下列命题： （1） （用分析法证明）已知：是不相等的正数，求证：； （2） （用数学归纳法证明）（）. 答案： 解：要证明 a3+b3>a2b+ab2只需证明(a+b)(a2−ab+b2)>ab(a+b)，只需证明(a+b)(a2−ab+b2)−ab(a+b)>0，只需证明(a+b)(a2−2ab+b2)>0，只需证明(a+b)(a−b)2>0，而已知a，b是不相等的正数，所以(a+b)(a−b)2>0成立，故a3+b3>a2b+ab2成立. 证明：①当n=1时，左边=−1，右边=−1，所以等式成立②假设当n=k时，等式成立，即−1+3−5+⋯+(−1)k(2k−1)=(−1)kk成立.那么，当n=k+1时，−1+3−5+⋯+(−1)k+1(2(k+1)−1)=(−1)kk+(−1)k+1(2(k+1)−1)而(−1)kk+(−1)k+1(2(k+1)−1)=−(−1)k+1k+(−1)k+1(2k+1)=(−1)k+1（k+1)，这就是说，当n=k+1时等式成立.根据（1）和（2），可知−1+3−5+⋯+(−1)n(2n−1)=(−1)nn对任意正整数都成立.

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