题目

已知函数 . （1） 求 的周期和单调递增区间； （2） 若 ， ，求 的值. 答案： 解：∵ f(x)=2cosx(3sinx+cosx)−1 =23sinxcosx+2cos2x−1 =3sin2x+cos2x =2sin(2x+π6) ， 所以函数 y=f(x) 的周期为 T=2π2=π ； 令 −π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ （ k∈Z ），解得 −π3+kπ≤x≤π6+kπ （ k∈Z ）. 即函数 y=f(x) 的增区间为 [−π3+kπ，π6+kπ] (k∈Z) ； ∵ f(α)=2sin(2α+π6)=85 ，∴ sin(2α+π6)=45 ， ∵ α∈(π4，π2) ，∴ 2α+π6∈(2π3，7π6) ， ∴ cos(2α+π6)= −1−sin2(2α+π6)=−35 ， ∴ cos2α=cos[(2α+π6)−π6] =cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6 =−35×32+45×12=4−3310 .

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