题目

如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA ， PB ， PC ， PD ， 点E ， F ， G ， H分别为 ， ， ， 的重心．求证：E ， F ， G ， H四点共面． 答案：证明：如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH．由于E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R分别为所在边的中点，即MN//AC，QR//AC，且QR=12AC=MN；所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形MNQR为平行四边形，且有PE→=23PM→，PF→=23PN→，PG→=23PQ→，PH→=23PR→．由于四边形MNQR为平行四边形，可得EG→=PG→−PE→=23PQ→−23PM→=23MQ→=23(MN→+MR→)=23(PN→−PM→)+23(PR→−PM→)=23×(32PF→−32PE→)+23×(32PH→−32PE→)=EF→+EH→．由于三个向量有公共点E，根据空间向量的共面定理可得向量EG→，EF→，EH→共面；所以E，F，G，H四点共面.

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