题目

如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD= ，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． （1） 证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF； （2） 当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°． 答案： 解：分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间坐标系 则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0， 12 ， 12 ），D（ 3 ，0，0）  设BE=x，则E（x，1，0）∴ =（x，1，﹣1）得 =x•0+1× 12 +（﹣1）× 12 =0可得 ，即AF⊥PE成立 解：求出 =（ 3 ，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为 则 ，得 m→=(33,1−33x,1) ∵PA与平面PDE所成角的大小为45°， AP→ =（0，0，1）∴sin45°= = 22 ，得 = 22 解之得x= 或x= ∵BE=x ，∴BE= ，即当BE等于 时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

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