题目

在中，角的对边分别为且 ， （1） 求； （2） 求边上中线长的取值范围． 答案： 解：因为bcosC+csinB=a，由正弦定理可得sinBcosC+sinCsinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，整理得sinCsinB=cosBsinC，且C∈(0，π)，则sinC≠0，可得sinB=cosB，即tanB=1，且B∈(0，π)，则B=π4，由正弦定理asinA=bsinB=2R，其中R为△ABC的外接圆半径，可得a=2RsinA，b=2RsinB，又因为a+2bsinA+2sinB=2RsinA+4RsinBsinA+2sinB=2R=62，所以b=2RsinB=62×22=6. 解：在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，即36=a2+c2−2ac，则a2+c2=36+2ac≥2ac，当且仅当a=c时，等号成立，可得ac≤362−2=18(2+2)，即ac∈(0，18(2+2)]设AC边上的中点为D，因为BD→=12BA→+12BC→，则BD→2=(12BA→+12BC→)2=14BA→2+12BA→⋅BC→+14BC→2     =14(a2+c2)+12accosB=14(36+2ac)+24ac=9+22ac∈(9，27+182]，即BD∈(3，3+32]，所以AC边上中线长的取值范围为(3，3+32].

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