题目

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动．点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒． （1） 当t＝ 秒时，点Q的坐标是； （2） 在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式； （3） 若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT＋PT的最小值． 答案： 【1】（4，0） 解：当点Q与原点O重合时，即OA=6，∴AP= 12 AO=3=3t，∴t=1，①  当0<t≤1时（如图1），∵一次函数与y轴交于B点，令x=0，∴y=4，∴B（0，4），即OB=4，由（1）知OA=6，在Rt△AOB中，∴tan∠OAB= OBOA = 46 = 23 ，∵AP=3t，∴OP=OA-PA=6-3t，∴P（6-3t，0），又∵点A关于点P的对称点为点Q，∴AP=PQ=3t，∴OQ=OA-AP-PQ=6-3t-3t=6-6t，∴Q（6-6t，0），∵四边形PQMN是正方形，∴PN=PQ=3t，MN∥AO，在Rt△APD中，∴tan∠PAD= PDPA = PD3t = 23 ，∴PD=2t，∴DN=PN-PD=3t-2t=t，∵MN∥AO，∴∠PAD=∠DCN，在Rt△DCN中，∴tan∠DCN= DNCN = tCN = 23 ，∴CN= 32 t，∴S=S正方形PQMN-S△CDN，=（PQ）2- 12 ·DN·CN，=（3t）2- 12 ·t· 32 t，= 334 t2，②  当1<t≤ 43 时（如图2），由①可知：DN=t，CN= 32 t，OP=6-3t，PN=3t，∴S=S矩形POEN-S△CDN，=PO·PN- 12 ·DN·CN，=（6-3t）×3t- 12 ·t· 32 t，=18t- 394 t2，③  当 43 <t≤2时（如图3），由①可知：PD=2t，OP=6-3t，OB=4，∴S=S四边形POBD，= 12 ·（PD+OB）·OP，= 12 ×（2t+4）×（6-3t），=-3t2+12t，综上所述：S={334t2，0≤t<1−394t2+18t，1≤t≤43−3t2+12，43<t≤2 解： 解：如图4，由（2）中①可知：P（6-3t，0），Q（6-6t，0），PN=PQ=3t，A（6，0），∴M（6-6t，3t），N（6-3t，3t），∵T是正方形PQMN对角线的交点，∴T（6- 92 t， 32 t），设直线AT解析式为：y=kx+b，∴ {6k+b=0(6−92t)k+b=32t ，解得： {k=−13b=2 ，∴AT解析式为：y=- 13 x+2，∴点T是直线y=- 13 x+2上一段线段上的点（-3≤x<6），同理可得直线AN解析式为：y=-x+6，∴点N是直线y=-x+6上一段线段上的点（0≤x≤6），∴G（0，6），∴OG=6，∵OA=6，在Rt△AOG中，∴AG=6 2 ，又∵T是正方形PQMN对角线的交点，∴PT=TN，∴OT+PT=OT+TN，∴当O、T、N在同一条直线上，且ON⊥AG时，OT+TN最小，即OT+PT最小，∵S△AOG= 12 ·AO·GO= 12 ·AG·NO，∴NO= AO×GOAG = 6×662 =3 2 ，∴OT+PT=OT+TN=ON=3 2 ，即OT+PT最小值为3 2 .

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