题目

已知数列中，，且，，成等差数列，数列是公比大于1的等比数列. （1）求数列的通项公式及其前n项和 . （2）设，求证： . 答案：解：设数列 {ann} 的公比为 q(q>1) ，则 a22=a11⋅q=2q ， a33=a11⋅q2=2q2 ，所以 a2=4q ， a3=6q2 ，又 4a2=4a1+a3 ，所以 16q=8+6q2 ， 3q2−8q+4=0 ， q=2 或 q=23 （舍）所以 ann=2×2n−1=2n ， ∴ an=n⋅2n . Sn=1×21+2×22+...+n×2n ， 2Sn=1×22+2×23+...+(n−1)×2n+n×2n+1 . 两式相减，得 −Sn=21+22+...+2n−n×2n+1=2(2n−1)−n×2n+1 ， ∴ Sn=(n−1)⋅2n+1+2 解：∵ bn=an2n=n ， ∴ bnbn+1=n(n+1)<n+(n+1)2=n+12 ∴ b1b2+b2b3+...+bnbn+1<(1+12)+(2+12)+...+(n+12) =n(n+1)2+n2=n2+2n2

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