题目

已知函数 . （1） 当 时，解不等式 ； （2） 当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：当 a=2 时， f(x)=|x+2|+|2x−5|={3−3x,x<−27−x,−2≤x≤523x−3,x>52  ， 由 f(x)≥5 ，得 {x<−23−3x≥5  ，即 {x<−2x≤−23  ， x<−2 或 {−2≤x≤527−x≥5  ，即 {−2≤x≤52x≤2  ， −2≤x≤2 或 {x>523x−3≥5  ，即 {x>52x≥83  ， x≥83 综上： x≤2 或 x≥83 ， 所以不等式 f(x)≥5 的解集为 {x|x≤2或x≥83} . 解： f(x)≤|x+4| ， f(x)=|x+a|+|2x−5|≤|x+4| ， 因为 x∈[a,2a−2] ， 2a−2>a ， 所以 a>2 ， 又 x∈[a,2a−2] ， x+a>0 ， x+4>0 ， 得 x+a+|2x−5|≤x+4 . 不等式恒成立，即 |2x−5|≤4−a 在 x∈[a,2a−2] 时恒成立， 不等式恒成立必须 a≤4 ， a−4≤2x−5≤4−a ， 解得 a+1≤2x≤9−a . 所以 {2a≥a+14a−4≤9−a  ， 解得 1≤a≤135 ， 结合 2<a≤4 ， 所以 2<a≤135 ， 即 a 的取值范围为 (2,135] .

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