题目

直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1 ， D为棱A1B1上的点． （1） 证明：DF⊥AE； （2） 是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由． 答案： 证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1， 12 ），F（ 12 ， 12 ，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z）， A1D→=λA1B1→  且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则  D（λ，0，1），所以 DF→ =（ 12−λ ， 12 ，﹣1），∵ AE→ =（0，1， 12 ），∴ DF→ • AE→ = 12−12 =0，所以DF⊥AE 结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 1414 ． 理由如下：设面DEF的法向量为 n→ =（x，y，z），则 {n→•FE→=0n→•DF→=0 ，∵ FE→ =（ −12 ， 12 ， 12 ）， DF→ =（ 12−λ 12 ，﹣1），∴ {−12x+12y+12z=0(12−λ)x+12y−z=0 ，即 {x=32(1−λ)zy=1+2λ2(1−λ)z ，令z=2（1﹣λ），则 n→ =（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量 m→ =（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 1414 ，∴|cos＜ m→ ， n→ ＞|= |m→•n→||m→||n→| = 1414 ，即 |2(1−λ)|9+(1+2λ)2+4(1−λ)2 = 1414 ，解得 λ=12 或 λ=74 （舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

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