题目

如图，四棱锥中，底面 ， ， ， ， 平面PAD与平面PBC的交线为l，且 ． （1） 证明； （2） 若 ， 求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值． 答案： 证明：已知平面PAD与平面PBC的交线为l，且AD//l．AD⊄平面PBC，l⊂平面PBC，∴AD//平面PBC，∵平面ABCD∩平面PBC=BC，AD⊂平面ABCD，∴AD//BC．又∠CAB=π6，AC=2，AB=3，由余弦定理得BC=AC2+AB2−2AC⋅ABcos∠CAB=4+3−43×32=1，∵AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，∴AD⊥AB，又PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，∵PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB.即AD⊥PB. 解：由题意，以A点为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系．A0,0,0,P0,0,2，B(3,0,0)，C(3,1,0)，平面PCB中，PC⃗=(3,1,−2)，BC⃗=(0,1,0)，设m⃗=(x1,y1,z1)为面PCB的一个法向量，则m⃗⋅PC⃗=3x1+y1−2z1=0m⃗⋅BC⃗=y1=0，令z1=3，则x1=2，∴m⃗=(2,0,3)，平面ABE中，AP⃗=0,0,2，AE⃗=AP⃗+13PC⃗=(0,0,2)+13(3,1,−2)=(33,13,43)，AB⃗=(3,0,0)，设n⃗=(x2,y2,z2)为面ABE的一个法向量，则m⃗⋅AE⃗=33x2+13y2+43z2=0n⃗⋅AB⃗=3x2=0，解得x2=0，令z2=1，则y2=−4，∴n⃗=(0,−4,1)设面PCB与面ABE所成角为θ，则cosθ=cosm⃗,n⃗=m⃗⋅n⃗|m⃗||n⃗|=37⋅17=357119，所以面PCB与面ABE所成夹角的余弦值为357119.

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