题目

如图，四棱柱 中，底面ABCD是菱形， ， 平面ABCD，E为 中点， . （1） 求证： 平面 ； （2） 求三棱锥 的体积； （3） 在 上是否存在点M，满足 平面 ？若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由. 答案： 证明：连 A1C1 交 B1D1 于点F，连EF， ∵ A1B1C1D1 是菱形，∴F是 A1C1 中点，∵E是 AA1 中点，∴ EF∥AC1 ， ∵ EF⊂ 平面 B1D1E ， AC1⊄ 平面 B1D1E ，∴ AC1∥ 平面 B1D1E . 解：过 B1 作 B1H⊥D1A1 的延长线于点H， 由 AA1⊥ 底面ABCD知 AA1⊥ 平面 A1B1C1D1 ，则 AA1⊥B1H ，又 AA1∩1A1=A1 ， B1H⊥ 平面 AA1D1D . 由 ∠A1B1C1=∠ABC=60° 知 ∠B1A1H=60° ，又 A1B1=2 ，则 B1H=3 . V三棱锥A−B1D1E=V三棱锥B1−AED1=13S△AED1⋅B1H=13×12×1×2×3=33 解：∵ AA1⊥ 平面ABCD，平面 A1B1C1D1∥ 平面ABCD， ∴ AA1⊥ 平面 A1B1C1D1 ，∵ B1D1⊂ 平面 A1B1C1D1 ，∴ B1D1⊥AA1 ， ∵菱形 A1B1C1D1 中 B1D1⊥A1C1 ， A1C1∩AA1=A1 ， A1C1 ， AA1⊂ 平面 AA1C1 ， ∴ B1D1⊥ 平面 AA1C1 ，又 AC1⊂ 平面 AA1C1 ，∴ AC1⊥B1D1 ， 过F在 Rt△AA1C1 中，作 FM⊥AC1 ，垂足为M， 则由 FM∩B1D1=F ，FM， B1D1⊂ 平面 MB1D1 知 AC1⊥ 平面 MB1D1 ， ∴存在M满足条件，在 Rt△AA1C1 中， AA1=A1C1=2 ， AC1=22 ，F是 A1C1 中点， ∴ C1M=FM=22 ，∴ AM=22−22=322 .

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