题目

已知椭圆的右焦点为F ， 点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴． （1） 求C的方程； （2） 过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A ， B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q ， 证明：AQ⊥y轴． 答案： 解：设F(c,0)，由题设有c=1且b2a=32，故a2−1a=32，解得a=2，b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.​​​​ 解：直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x−4)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由{3x2+4y2=12y=k(x−4)可得(3+4k2)x2−32k2x+64k2−12=0，故Δ=1024k4−4(3+4k2)(64k2−12)>0，故−12<k<12，又根据韦达定理得：x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2−123+4k2，而N(52,0)，故直线BN:y=y2x2−52(x−52)，故yQ=−32y2x2−52=−3y22x2−5，所以y1−yQ=y1+3y22x2−5=y1×(2x2−5)+3y22x2−5=k(x1−4)×(2x2−5)+3k(x2−4)2x2−5=k2x1x2−5(x1+x2)+82x2−5=k2×64k2−123+4k2−5×32k23+4k2+82x2−5=k128k2−24−160k2+24+32k23+4k22x2−5=0，故y1=yQ，即AQ⊥y轴.

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