题目

已知函数 . （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 的极值. 答案：解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ ax . 当a＝2时，f(x)＝x－2ln x， f′(x)＝1－ 2x (x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. （Ⅱ）由f′(x)＝1－ ax ＝ x−ax ，x>0知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a， 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．

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