题目

经过函数性质的学习，我们知道：“函数 的图象关于 轴成轴对称图形”的充要条件是“ 为偶函数”. （1） 若 为偶函数，且当 时， ，求 的解析式，并求不等式 的解集； （2） 某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数 的图象关于直线 成轴对称图形”的充要条件是“ 为偶函数”.若函数 的图象关于直线 对称，且当 时， . （i）求 的解析式； 答案： 解：设 x>0 ，则 −x<0 ，则 f(−x)=2·(−x)−1=−2x−1 ， 又 f(x) 为偶函数，所以 f(x)=f(−x)=−2x−1 ． 所以 f(x)={2x−1,x⩽0,−2x−1,x>0 . 因为 f(x) 为偶函数，且 f(x) 在 [0 ， +∞) 上是减函数， 所以 f(x)>f(2x−1) 等价于 |x|<|2x−1| ， 即 x2<(2x−1)2 ，解得 x<13 或 x>1 ． 所以不等式的解集是 {x|x<13 或 x>1} ． 解：因为 g(x) 的图象关于直线 x=1 对称，所以 y=g(x+1) 为偶函数， 所以 g(1+x)=g(1−x) ，即 g(x)=g(2−x) 对任意 x∈R 恒成立． 又当 x<1 时， 2−x>1 ， 所以 g(x)=g(2−x)=(2−x)2−12−x=x2−4x+4+1x−2 ． 所以 g(x)={x2−1x,x⩾1,x2−4x+4+1x−2,x<1 （ii）求不等式 g(x)>g(3x−1) 的解集. 解：任取 x1 ， x2∈[1 ， +∞) ，且 x1<x2 ，则 g(x1)−g(x2)=x12−1x1−(x22−1x2)=(x1−x2)(x1+x2+1x1x2)<0 ， 因为 x1<x2 ，所以 x1−x2<0 ，又 x1+x2>0 ， 1x1x2>0 ， 所以 (x1−x2)(x1+x2+1x1x2)<0 ，即 g(x1)<g(x2) ． 所以函数 y=g(x) 在 [1 ， +∞) 上是增函数， 又因为函数 g(x) 的图象关于直线 x=1 对称， 所以 g(x)>g(3x−1) 等价于 |x−1|>|3x−2| ， 即 (x−1)2>(3x−2)2 ，解得 12<x<34 ． 所以不等式的解集为 {x|12<x<34} ．

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