题目

已知双曲线 的方程为 ，椭圆 与双曲线有相同的焦距， ， 是椭圆的上、下两个焦点，已知 为椭圆上一点，且满足 ，若 的面积为9. （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 点 为椭圆的上顶点，点 是双曲线 右支上任意一点，点 是线段 的中点，求点 的轨迹方程. 答案： 解：设双曲线的半焦距为 c ，由题 c2=4+3=7 ，设椭圆方程 y2a2+x2b2=1 （ a>b>0 ）. ∴ {12|PF1||PF2|=9|PF1|2+|PF2|2=4c2=28|PF1|+|PF2|=2a ，∴ 4a2=|PF1|2+|PF2|2+4(12|PF1||PF2|)=64 ∴ a2=16 ，∴ b2=a2−c2=16−7=9 ，∴ C2: y216+x29=1 ； 解：由题点 A(0,4) .设双曲线右支上任意一点 B 的坐标为 (x0,y0) ， AB 中点 M 的坐标为 (x,y) ， 则 {x=x02y=y0+42 ，∴ {x0=2xy0=2y−4 ， 又点 B 在双曲线上，∴ x024−y023=1 ∴ x2−(2y−4)23=1 （ x≥1 ）.

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