题目

已知函数 . （1） 判断函数f（x）在（2.+∞）上的单调性并证明； （2） 判断函数f（x）的奇偶性，并求f（x）在区间[-5，-3]上的最大值与最小值. 答案： f(x) 在 (2，+∞) 上为减函数，证明如下：任取 x1>x2>2 ，则 f(x1)−f(x2)=x1x12−4−x2x22−4=x1(x22−4)−x2(x12−4)(x12−4)(x22−4)=(x2−x1)(x1x2+4)(x12−4)(x22−4) ， ∵x1>x2>2 ， ∴x12−4>0，x22−4>0，x2−x1<0，x1x2>0 ， ∴f(x1)−f(x2)=(x2−x1)(x1x2+4)(x12−4)(x22−4)<0 ，即 f(x1)<f(x2) ， ∴ f(x) 在 (2，+∞) 上为减函数. 由题意得 f(x) 的定义域为 (−∞，−2)∪(2，+∞) ， ∴f(−x)=−x(−x)2−4=−xx2−4=−f(x) ， ∴ f(x) 为奇函数， 由（1）知，函数 f(x) 在 [−5，−3] 为减函数， 故当 x=−5 时，函数 f(x) 取得最大值为 f(−5)=−5(−5)2−4=−521 ， 当 x=−3 时，函数 f(x) 取得最小值为 f(−3)=−3(−3)2−4=−35 .

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