题目

对于正实数a， ， 我们熟知基本不等式： ， 其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数： ． （1） 设 ， 求证：； （2） 证明； （3） 若不等式对任意正实数恒成立，求正实数m的取值范围． 答案： 证明：设f(x)=lnx−12(x−1x),x>0，则f'(x)=1x−12−12x2=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2，故当x>1时，f'(x)<0恒成立，即f(x)在(1,+∞)上单调递减，又因为f(1)=0，故当x>1时，f(x)<f(1)=0，即当x>1时，lnx<12(x−1x)，即不等式2lnx<x−1x成立. 证明：要证G(a,b)<L(a,b)，需证ab<a−blna−lnb，因为a>b，故只需证lnab<a−bab，即证2lnab<ab−ba，设t=ab，则t>1，由（1）可得2lnt<t−1t，即得2lnab<ab−ba，故不等式G(a,b)<L(a,b)成立. 解：由不等式G(a,b)+A(a,b)>m⋅L(a,b)对任意正实数a,b(a>b)恒成立，可得m⋅a−blna−lnb<ab+a+b2，即m⋅ab−1lnab<ab+12(ab+1)恒成立，设t=ab，则t>1，则m⋅t2−12lnt<t+12(t2+1)，化简得，m⋅t−1lnt<t+1，即m⋅t−1t+1−lnt<0在t>1时恒成立，设g(t)=m⋅t−1t+1−lnt,t>1，则g'(t)=m⋅2(t+1)2−1t=−t2+2(m−1)t−1t(t+1)2,① 当Δ=4(m−1)2−4>0时，即当m>2时，方程−t2+2(m−1)t−1=0有两个异根t1,t2，由t1+t2=2(m−1)>0,t1⋅t2=1>0，可取t1>1,则0<t2<1，因为t>1，故当1<t<t1时，g'(t)>0，则g(t)在(1,t1)上单调递增，故g(t)>g(1)=0，与题意不符，故舍去；② 当0<m≤2时，因为t>1，则−t2+2(m−1)t−1≤−t2+2t−1=−(t−1)2<0，即g'(t)<0，g(t)在(1,+∞)上单调递减，故恒有g(t)<g(1)=0成立，符合题意，综上可知，m∈(0,2].

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