题目

甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛2n（n∈N+）局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为 ．如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P（n）． （1） 求P（2）与P（3）的值； （2） 试比较P（n）与P（n+1）的大小，并证明你的结论． 答案： 解：若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局， 所以 P(2)=C43(12)4+C44(12)4=516 ，同理 P(3)=C46(12)6+C65(12)6+C66(12)6=1132 解：在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n+1局， 故 P(n)=C2nn+1(12)2n+C2nn+2(12)2n+⋯+C2n2n(12)2n = (C2nn+1+C2nn+2+⋯+C2n2n)⋅(12)2n=12(22n−C2nn)⋅(12)2n=12(1−C2nn22n) ，所以 P(n+1)=12(1−C2n+2n+122n+2) ，又因为 C2nn22nC2n+2n+122n+2=4C2nnC2n+2n+1=4(2n)!n!n!(2n+2)!(n+1)!(n+1)!=4(n+1)(2n+2)(2n+1)=2(n+1)2n+1>1 ，所以 C2nn22n+2>C2n+2n+122n+2 ，所以P（n）＜P（n+1）

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