题目

已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b． （1） 求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）； （2） 直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式； （3） a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围． 答案： 解：∵抛物线 y=ax2+ax+b 有一个公共点M(1，0)，∴a+a+b=0，即b=−2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax−2a=a(x+12)2−9a4，  ∴抛物线顶点D的坐标为 (−12，−9a4) 解：∵直线y=2x+m经过点M(1，0)，∴0=2×1+m，解得m=−2，∴y=2x−2，则 {y=2x−2y=ax2+ax−2a，   得 ax2+(a−2)x−2a+2=0，  ∴(x−1)(ax+2a−2)=0，解得x=1或 x=2a−2，  ∴N点坐标为 (2a−2，4a−6)，  ∵a<b，即a<−2a，∴a<0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，∵抛物线对称轴为 x=−a2a=−12，  ∴E(−12，−3)，  ∵M(1，0)，N(2a−2，4a−6)，  设△DMN的面积为S，∴S=S△DEN+S△DEM=12|(2a−2)−1|⋅|−9a4−(−3)|=274−3a−278a， 解：当a=−1时，抛物线的解析式为： y=−x2−x+2=−(x−12)2+94，  有 {y=−x2−x+2y=−2x，   −x2−x+2=−2x，  解得： x1=2，x2=−1，  如图2，∴G(−1，2)，∵点G、H关于原点对称，∴H(1，−2)，设直线GH平移后的解析式为：y=−2x+t，−x2−x+2=−2x+t，x2−x−2+t=0，△=1−4(t−2)=0，t=94， 当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1，0)，把(1，0)代入y=−2x+t，t=2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是 2≤t<94.

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