题目

如图所示，ABC为半径R=5m的竖直光滑圆弧轨道，轨道的圆心为O，最低点和最高点分别为B和C，D点为与圆心等高的位置，OA与竖直方向的夹角θ=37°，有小球Q静止在轨道的最低点B。与Q大小相等、质量为m的小球P从某点以初速度v0=4m/s水平抛出，刚好沿切线方向从A点进入圆弧轨道，两个小球在最低点相碰，碰撞时间极短，碰撞过程中没有机械能损失。已知重力加速度为g=10m/s2 ， sin37°=0.6。 （1） 求小球P的抛出位置与A点间的距离； （2） 求小球P在A点对轨道的压力； （3） 若碰后小球P不离开圆弧轨道，求小球Q的质量范围。 答案： 解：由几何关系有 tanθ=gtv0 平抛运动可知 x=v0t h=12gt2 由几何关系有 d=x2+h2 解得 d=65720m 解：设小球在 A 点时的速度为 vA ，由运动的合成与分解有 v0=vAcosθ 在 A 点对小球受力分析结合牛顿第二定律有 FN−mgcosθ=mvA2R 由牛顿第三定律有 F压=FN 解得 F压=1.3mg 解：小球 P 由 A 到 B 过程由动能定理有 mgR(1−cosθ)=12mvB2−12mvA2 设 Q 的质量为 m' ， PQ 碰撞过程有 mvB=mv1+m'v2 12mvB2=12mv12+12m'v22 解得 v1=m−m'm+m'vB 碰后小球 P 不离开圆弧轨道，所以有 mgR(1−cosθ)≥12mv12 解得 m5≤m'≤5m

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