题目

四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为正三角形，底面ABCD是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为PB，BC中点，AB＝2. （Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PBC； （Ⅱ）棱AD上是否存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45°？若存在，求AM的长度；若不存在，说明理由. 答案：解：（Ⅰ）因为四边形 ABCD 为正方形，则 AB⊥BC 因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB ∩ 平面ABCD =AB ， BC⊂ 平面ABCD， 所以 BC⊥ 平面 PAB 因为 AE⊂ 平面 PAB ，所以 BC⊥AE 因为 △PAB 为正三角形， E 是 PB 的中点，所以 PB⊥AE ，又 BC∩PB=B ， BC⊂ 平面 PBC ， PB⊂ 平面 PBC 所以 AE⊥ 平面 PBC 因为 AE⊂ 平面 AEF 所以平面AEF⊥平面PBC （Ⅱ）取 PA 中点H， 则 BH⊥PA ，由（Ⅰ）知 BC⊥ 平面 PAB ， BH⊂ 平面 PAB ，所以 BC⊥BH ，因为 AD//BC ，所以 AD⊥BH ，又 PA∩AD=A ， PA⊂ 平面 PAD ， AD⊂ 平面 PAD ，所以 BH⊥ 平面 PAD ， 所以 ∠BMH 是 BM 与平面 PAD 所成的角，即 ∠BMH=45° 因为正三角形 PAB 边长为2，则 BH=3 ，在 Rt△BHM 中， BM=2BH=6 Rt△BAM 中， AB=2 ，所以 AM=BM2−AB2=2 ，故棱 AD 上存在点 M ，当 AM=2 时，使得 BM 与平面 PAD 所成的角为 45° .

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