题目

已知向量 ， ， ，设函数 . （1） 求 的最小正周期； （2） 求函数 的单调递减区间； （3） 求 在 上的最大值和最小值. 答案： 解： f(x)=(cosx，−12)   ⋅(3sinx，cos2x)=3cosxsinx−12cos2x=32sin2x−12cos2x=cosπ6sin2x−sinπ6cos2x=sin(2x−π6) .f(x) 的最小正周期为 T=2πω=2π2=π ，即函数 f(x) 的最小正周期为 π 解：函数 y=sin(2x−π6) 单调递减区间：π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ ， k∈Z ，得： π3+kπ≤x≤5π6+kπ ， k∈Z ，∴所以单调递减区间是 [π3+kπ，5π6+kπ] ， k∈Z 解：∵ 0≤x≤π2 ，∴ −π6≤2x−π6≤5π6 .由正弦函数的性质，当 2x−π6=π2 ，即 x=π3 时， f(x) 取得最大值 1 .当 2x−π6=−π6 ，即 x=0 时， f(0)=−12 ，当 2x−π6=56π ，即 x=π2 时， f(π2)=12 ，∴ f(x) 的最小值为 −12 .因此， f(x) 在 [0，π2] 上的最大值是 1 ，最小值是 −12

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