题目

已知函数 （1） 若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值； （2） 若函数 有两个极值点 ，求证： 答案： 解：因为 g(x)=lnx−mx ， g′(x)=1−mxx ， ①当 m≤0 时，因为 x∈[1，e] ，所以 g′(x)>0 ， 所以函数 g(x) 在 [1，e] 上单调递增，则 g(x)max=g(e)=1−me ； ②当 1m≥e ，即 0<m≤1e 时， x∈[1，e] ， g′(x)≥0 ， 所以函数 g(x) 在 [1，e] 上单调递增，则 g(x)max=g(e)=1−me ；， ③当 1<1m<e ，即 1e<m<1 时，函数 g(x) 在 (1，1m) 上单调递增，在 (1m，e) 上单调递减，则 g(x)max=g(1m)=−lnm−1 ； ④当 0<1m≤1 ，即 m≥1 时， x∈[1，e] ， g′(x)≤0 ，函数 g(x) 在 [1，e] 上单调递减，则 g(x)max=g(1)=−m ． 综上，当 m≤1e 时， g(x)max=g(e)=1−me ； 当 1e<m<1 时， g(x)max=g(1m)=−lnm−1 ； 当 m≥1 时， g(x)max=g(1)=−m 证明：要证 x1x2>e2 ，只需证： lnx1+lnx2>2 ， 若 f(x) 有两个极值点 x1，x2 ，即函数 f′(x) 有两个零点，又 f′(x)=lnx−mx ， 所以 x1，x2 是方程 f′(x)=0 的两个不同实根， 即 {lnx1−mx1=0lnx2−mx2=0 ，解得 m=lnx1+lnx2x1+x2 ， 另一方面，由 {lnx1−mx1=0lnx2−mx2=0 ，得 lnx2−lnx1=m(x2−x1) ， 从而可得 lnx2−lnx1x2−x1=lnx1+lnx2x1+x2 ， 于是 lnx1+lnx2=(lnx2−lnx1)(x2+x1)x2−x1=(1+x2x1)lnx2x1x2x1−1 ．不妨设 0<x1<x2 ， 设 t=x2x1 ，则 t>1 ．因此， lnx1+lnx2=(1+t)lntt−1， t>1 ． 要证 lnx1+lnx2>2 ，即证： (t+1)lntt−1>2，t>1 ， 即当 t>1 时，有 lnt>2(t−1)t+1 ， 设函数 h(t)=lnt−2(t−1)t+1，t≥1 ，则 h′(t)=1t−2(t+1)−2(t−1)(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2≥0 ， 所以 h(t) 为 (1，+∞) 上的增函数．注意到， h(1)=0 ，因此， h(t)≥h(1)=0 ． 于是，当 t>1 时，有 lnt>2(t−1)t+1 ． 所以 lnx1+lnx2>2 成立， x1x2>e2 ．

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