题目

我们规定：在平面直角坐标系 中，如果点P到原点O的距离为 ，点M到点P的距离是a的整数倍，那么点M就是点P的k倍关联点． （1） 当点 的坐标为 时， ①如果点 的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是； ②如果点 是点 的k倍关联点，且满足 ， ．那么k的最大值为； （2） 如果点 的坐标为 ，且在函数 的图象上存在 的2倍关联点，求b的取值范围． 答案： 【1】（1.5，0）或（﹣4.5 ，0）【2】3 解：∵点 P2 的坐标为 (1，0) ∴a＝1， ∴ P2 的2倍关联点在以点 P2 (1，0) 为圆心，半径为2 的圆上 ∵在函数 y=−x+b 的图象上存在 P2 的2倍关联点， ∴当直线 y=−x+b 与⊙ P2 相切时，即直线 y=−x+b1 和 y=−x+b2 ，b分别取最大值b1和最小值b2，如图所示， 在Rt△ P2 AB中，∠ P2 AB＝90°，∠AB P2 ＝45°，A P2 ＝2 ∴sin∠AB P2 ＝ AP2P2B ∴ P2B=AP2sin45°=22 ∴点B的坐标是（1＋ 22 ，0） 代入 y=−x+b1 得 ﹣（1＋ 22 ）＋b1＝0 解得b1＝1＋ 22 ∴直线AB为 y=−x+1+22 在Rt△ P2 CD中，∠ P2 DC＝90°，∠DC P2 ＝45°，D P2 ＝2 ∴sin∠DC P2 ＝ DP2P2C ∴ P2C=DP2sin45°=22 ∴点C的坐标是（1－ 22 ，0） 代入 y=−x+b2 得 ﹣（1－ 22 ）＋b2＝0 解得b2＝1－ 22 ∴直线CD为 y=−x+1−22 ∴1－ 22 ≤b≤1＋ 22

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