题目

已知函数 ． （1） 若 ， 且关于x的不等式的解集是 ， 求的最小值； （2） 设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围 答案： 解：因为a>0，且关于x的不等式f(x)<0的解集是{x|m<x<n}，所以x=m和x=n是方程x2−(a2+6a+9)x+a+1=0的两根，所以m+n=a2+6a+9，mn=a+1．所以1m+1n=m+nmn＝a2+6a+9a+1＝(a+1)2+4(a+1)+4a+1＝(a+1)+4a+1+4≥4+4=8，当且仅当a＝1时等号成立，所以1m+1n的最小值为8； 解：因为关于x的不等式f(x)<0在[0，1]上恒成立，所以{f(0)<0f(1)<0，所以{a+1<01−(a2+6a+9)+a+1<0，解得a<−1，所以a的取值范围为(−∞，−1)．

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