题目

如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形. （1） 连结BE，CD，求证：BE=CD； （2） 如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′. ①当旋转角为度时，边AD′落在AE上； ②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′.当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明. 答案： 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形 ∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE， 即∠BAE=∠DAC， 在△BAE和△DAC中， {AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC ， ∴△BAE≌△DAC(SAS)， ∴BE=CD； 【1】60【2】解：当AC=2AB时,△BDD′与△CPD′全等. 理由如下：由旋转可知,AB′与AD重合， ∴AB=BD=DD′=AD′， ∴四边形ABDD′是菱形， ∴∠ABD′=∠DBD′= 12 ∠ABD=12×60°=30°,DP∥BC， ∵△ACE是等边三角形， ∴AC=AE,∠ACE=60°， ∵AC=2AB， ∴AE=2AD′， ∴∠PCD′=∠ACD′= 12 ∠ACE= 12 ×60°=30°， 又∵DP∥BC， ∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°， 在△BDD′与△CPD′中， {∠DBD′=∠PCD′BD′=CD′∠BD′D=∠PD′C ， ∴△BDD′≌△CPD′(ASA).

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