题目

已知函数 ． （1） 讨论函数的单调性； （2） 若函数有两个零点，求a的取值范围． 答案： 解：x∈(0，+∞)，f′(x)=1x−ax2=x−ax2， 若a≤0，则f'(x)>0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增； 若a>0，则x∈(0，a)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增 解：由（1），若a≤0，则函数f(x)至多只有一个零点，不合题意； 若a>0，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递减，则x=a时函数有最小值为f(a)=lna+1. 因为函数f(x)有两个零点，所以f(a)=lna+1<0⇒0<a<e−1，且f(1)=a>0. 限定0<x<1，设g(x)=lnx−x，则g'(x)=1x−1=1−xx>0， 函数g(x)在(0，1)上单调递增，所以g(x)=lnx−x<g(1)=−1<0⇒lnx<x⇒lnx−12<x−12， 即lnx>−2x，所以f(x)>−2x+ax=−2x+ax， 于是0<x<1且x<a24(−2x+a>0)时，f(x)>0. 综上：0<a<e−1.

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