题目

在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2 的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要说明理由） （1） 如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为 （30︒﹤ ﹤180︒） ①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE； ②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值. （2） 如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为，四边形MNPQ面积的最大值是, 答案： ①∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形， ∴AD=AB,∠DAB=∠GAE= 90∘ ，AG=AE， ∠DAB+∠GAB=∠GAB +∠GAE ∠DAG=∠BAE 在△ADG和△ABE中， {AD=AB∠DAG=∠BAEAG=AE，  ∴△ADG≌△ABE(SAS)， ∴∠AGD=∠AEB，DG=BE, 如图所示，EB交AG于点H， 在△AEH中,∠AEH+∠AHE= 90∘ ， ∠AEH=∠BHG, ∴∠AGD+∠BHG= 90∘ ， 在△HGM中, ∠AGD+∠BHG +∠GMH= 180∘ ， ∴∠GMH= 90∘ ， 则DG⊥BE； ②根据①可知旋转过程中，DG=BE且DG⊥BE； 当BE取得最大值，即点A,B,E在同一条直线上时，四边形BGED面积有最大值. 此时：DG=BE =AB+AE=2+22,   四边形BGED面积 =12BE⋅DG=12(2+22)2=6+42.   【1】正方形,【2】3+2 2

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