题目

对于定义域为的函数，如果存在区间 ， 同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是 ． 则称是函数的一个“黄金区间”． （1） 请证明：函数不存在“黄金区间”． （2） 已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3） 如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 答案： 证明：由y=1−1x为(0，+∞)上的增函数，则有{f(m)=mf(n)=n，∴1−1x=x⇔x2−x+1=0，无解，∴y=1−1x(x>0)不存在“黄金区间”； 记[m，n]是函数y=x2−4x+6的一个“黄金区间”(m<n)，由y=(x−2)2+2≥2及此时函数值域为[m，n]，可知m≥2而其对称轴为x=2，∴y=x2−4x+6在[m，n]上必为增函数，令x2−4x+6=x，∴x2−5x+6=0，∴x1=2，x2=3故该函数有唯一一个“黄金区间”[2，3]； 由f(x)=(a2+a)x−1a2x=a+1a−1a2x在(−∞，0)和(0，+∞)上均为增函数，已知f(x)在“黄金区间”[m，n]上单调，所以[m，n]⊆(−∞，0)或[m，n]⊆(0，+∞)，且f(x)在[m，n]上为单调递增，则同理可得f(m)=m，f(n)=n，即m，n(m<n)是方程a+1a−1a2x=x的两个同号的实数根，等价于方程a2x2−(a2+a)x+1=0有两个同号的实数根，又mn=1a2>0，则只要Δ=(a2+a)2−4a2>0，∴a>1或a<−3，而由韦达定理知n+m=a2+aa2=a+1a，mn=1a2，所以n−m=(n+m)2−4mn=(a+1a)2−4a2=−3a2+2a+1=−3(1a−13)2+43，其中a>1或a<−3，所以当a=3时，n−m取得最大值233．

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