题目

已知向量 ，且 . （1） 求 及 ； （2） 若 的最小值为 ，求实数 的值. 答案： 解：因为 a→=(cos32x,−sin32x),b→=(cosx2,sinx2) 所以 a→⋅b→=cos32xcosx2−sin32xsinx2=cos2x ∵ a→+b→=(cos32x+cosx2,−sin32x+sinx2) ， ∴ |a→+b→|2=(cos32x+cosx2)2+(−sin32x+sinx2)2=2+2(cos32xcosx2−sin32xsinx2)=2+2cos2x=4cos2x ． ∵ x∈[0,π2] ， ∴cosx⩾0 ，因此 |a→+b→|=2cosx ． 由（1）知 f(x)=a→⋅b→−2γ|a→+b→| 所以 f(x)=cos2x−4γcosx=2cos2x−4γcosx−1 ， ∴f(x)=2(cosx−γ)2−1−2γ2 ， cosx∈[0 ， 1] ， ①当 0<γ<1 时，当 cosx=γ 时， f(x) 有最小值 −1−2γ2=−52 ，解得 γ=32 ． ②当 γ⩾1 时，当 cosx=1 时， f(x) 有最小值 1−4γ=−52 ， γ=78 （舍去）， ③当 γ≤0 时，当 cosx=0 时， f(x) 有最小值 −1≠−52 ，无解， 综上可得 γ=32 ．

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