题目

如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A点、B点，双曲线C：y= （x＞0）． （1） 当k=﹣1，b=2 时，求直线l与双曲线C公共点的坐标； （2） 当b=2 时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）． （3） ①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2 ， 猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系． 答案： 解：联立l与C得 {y=−x+23①y=3x② ，①﹣②，得﹣x+2 3 ﹣ 3x =0化简，得x2﹣2 3 x+3=0解得x1=x2= 3 ，y1=y2= 3 ，直线l与双曲线C公共点的坐标为（ 3 ， 3 ） 解：证明：联立l与C得 {y=kx+2−3k①y=3x② ，①﹣②，得kx+2 −3k ﹣ 3x =0，化简，得kx2+2 −3k x﹣3=0，a=k，b=2 −3k ，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（2 −3k ）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，∴kx2+2 −3k x﹣3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点；x=﹣ −3kk ，y= −3k ，即P（﹣ −3kk ， −3k ） 解：①PA=PB，理由如下：y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；当y=0时，x=﹣ bk ，即B（﹣ bk ，0），P（﹣ −3kk ， −3k ），PA= (−−3kk)2+(−3)2 ，PB= (−3kk)2+(−3k)2 ，∴PA=PB．②P1A=P2B，理由如下：y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；当y=0时，x=﹣ bk ，即B（﹣ bk ，0），联立l与C得 {y=kx+b①y=3x② ，①﹣②，得kx+b﹣ 3x =0，化简，得kx2+bx﹣3=0，解得P1（ −b+b2+12k2k ， b+b2+12b2 ）P2（ −b−b2+12b2k ， b−b2+12k2 ）P1A2=（ −b+b2+12k2k ）2+（ −b+b2+12b2 ）2，P2B2=（ b−b2+12k2k ）2+（ b−b2+12k2 ）2，∴P1A2=P2B2，∴P1A=P2B

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