题目

如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1.5cm/s的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）． （1） 当x= （s）时，PQ⊥BC； （2） 当点M落在AC边上时，x=（s）； （3） 求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 答案： 【1】1.5 【1】3 解：当0≤x＜1.5时，过Q作QE⊥BC于E， ∵BQ=6-x， ∴QE=BQsin∠B=BQsin60°，而DP=BPtan∠B=BPtan60°， y=S△BPQ-S△BPD = 12BP⋅QE−12BP⋅DP = 12BP(BQsin60°)−12BP(BPtan60°) = 934x−332x2 ； 当1.5≤x≤3时，过点Q作QD⊥BC于D， 可知：四边形QDPM为矩形， ∴QM=DP=BP-BD=BP-BQ·cos60°， PM=MC·sin60°=BQ·sin60°， 则y=S△PQM = 12QM⋅PM = 12(BP−BQ⋅cos60°)⋅BQ⋅sin60° = −32x2+1534x−932 ； 当3＜x≤4时， 如图所示，过点Q作QE⊥BC于点E， 可知四边形QEPM为矩形， ∴QM=EP=BP-BE=BP-BQ·tan∠B=1.5x- 12 （6-x）=2x-3， ∵QM∥BC， ∴△AQO为等边三角形，∠MON=∠C=60°， ∴AQ=OQ=AO=x， ∴OM=QM-OQ=2x-3-x=x-3， ∵PC=6-1.5x，∠C=60°， ∴NP=PC·tan∠C= PC·tan60°= (6−3x2)×3 ， ∴MN=MP-NP=QE-NP=BQ·sin∠B-NP=（6-x）·sin60°- (6−3x2)×3 = 3x−33 ， y=S△PQM-S△NOM = 12MQ⋅PM−12OM⋅MN = −32x2+1534x−932 - 12 （x-3）（ 3x−33 ） = −3x2+2734x−93 故y关于x的函数解析式为 y={934x−332x2(0≤x<1.5)−32x2+1534x−932(1.5≤x≤3)−3x2+2734x−93(3<x≤4) .

查看本题答案和解析