题目

如图1，矩形中， ， 点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E. （1） 当点P是的中点时，求证：； （2） 将沿直线折叠得到 ， 点落在矩形的内部，延长交直线于点F.①证明 ， 并求出在（1）条件下的值；②连接 ， 求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由. 答案： 证明：如图9-1，在矩形ABCD中，AB∥DC，即AB∥DE，∴∠1=∠E，∠B=∠2.∵点P是BC的中点，∴BP=CP.∴△ABP≌△ECP(AAS) 解：①证明：如图9-2，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠3=∠FAP.由折叠可知∠3=∠4，∴∠FAP=∠4.∴FA=FP.在矩形ABCD中，BC=AD=8，∵点P是BC的中点，∴BP=12BC=12×8=4.由折叠可知AB′=AB=6，PB′=PB=4，∠B=∠AB′P=∠AB′F=90°.设FA=x，则FP=x.∴FB′=x−4.在Rt△AB′F中，由勾股定理得AF2=B′A2+B′F2，∴x2=62+(x−4)2，∴x=132，即AF=132.②解：如图9-3，由折叠可知AB′=AB=6，B′P=BP.∴C△PCB′=CP+PB′+CB′=CB+CB′=8+CB′.由两点之间线段最短可知，当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小.连接AC，在Rt△ADC中，∠D=90°，∴AC=AD2+DC2=82+62=10，∴CB′最小值=AC−AB′=10−6=4，∴C△PCB′最小值=8+CB′=8+4=12.③解：AB与HG的数量关系是AB=2HG.理由是：如图9-4，由折叠可知∠1=∠6，AB′=AB，BB′⊥AE.过点B′作B′M∥DE，交AE于点M，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥B′M，∴∠1=∠6=∠5=∠AED.∴AB′=B′M=AB，∴点H是AM中点.∵∠EAB′=2∠AEB′，即∠6=2∠8，∴∠5=2∠8.∵∠5=∠7+∠8，∴∠7=∠8.∴B′M=EM.∴B′M=EM=AB′=AB.∵点G为AE中点，点H是AM中点，∴AG=12AE，AH=12AM.∴HG=AG−AH=12(AE−AM)=12EM.∴HG=12AB.∴AB=2HG.

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