题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N． （1） 如图1，若CE=CF，求证：DE=DF； （2） 如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长． 答案： 证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE与△DCF中， {CE=CF∠DCE=∠DCFCD=CD ，∴△DCE≌△DCF，∴DE=DF； 解：①∵∠DCF=∠DCE=135°，∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴ CDCE=CFCD ，即CD2=CE•CF，∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴CD= 12 AB，∴AB2=4CE•CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，由CD2=CE•CF得CD=2 2 ，∴在Rt△DCG中，CG=DG=CD•sin∠DCG=2 2 ×sin45°=2，∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴△CEN∽△GDN，∴ CNGN=CEDG =2，∴GN= 13 CG= 23 ，∴DN= GN2+DG2 = (23)2+22 = 2103 ．

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