题目

如图，已知抛物线y=﹣ +bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F．①求证：四边形DECF是矩形；②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况． 答案： 解：因为抛物线与x轴交于（﹣1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x﹣4）∵a=﹣ 12 ，∴y=﹣ 12 （x+1）（x﹣4）即y=﹣ 12 x2+ 32 x+2 ①证明：把C（m，m﹣1）代入y=﹣ 12 x2+ 32 x+2得m﹣1=﹣ 12 m2+ 32 m+2，∴m1=﹣2，m2=3，∵C在第一象限，∴ {m>0m−1>0 ，∴m＞1，∴m=﹣2（不符合题意，舍），m=3，∴C的坐标是（3，2），∵BC//DE   DF//AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AB2=25   AC2=20   BC2=5∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴四边形▱BECF是矩形．②∵DE//BC，∴△AED∽△ACB，∴ EDBC = ADAB    ①．同理，得DFAC = BDAB    ②，①+②得EDBC + DFAC = AD+BDAB =1，∵AC=2 5 ，BC= 5 ，CF=ED，∴ ED5 + DF25 =1，即2ED+DF=2 5 ，∴ED+DF+FC=2 5 ，∴DE、DF、CF的长度之和不变化，ED+DF+FC=2 5

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