题目

解答题唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇 见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．（1）列方程求壶中原有多少升酒；（2）设壶中原有a0升酒，在第n个店饮酒后壶中余an升酒，如第一次饮后所余酒为a1=2a0﹣19（升），第二次饮后所余酒为a2=2a1﹣19=2（2a0﹣19）﹣19=22a0﹣（21+1）×19（升），…．①用an﹣1的表达式表示an ， 再用a0和n的表达式表示an；②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒． 答案：解：（1）设壶中原有x升酒．依题意得：2[2（2x﹣19）﹣19]﹣19=0，去中括号，得4（2x﹣19）﹣3×19=0．去括号，得：8x﹣7×19=0．系数化1，得x=1658，答：壶中原有1658升酒；（2）①an=2an﹣1﹣19，an=2na0﹣（2n﹣1+2n﹣2+…+1）×19，（或an=2na0﹣（2n﹣1）×19）；②当n=4时，a4=24a0﹣（23+22+21+1）×19．（或写成a4=24a0﹣（24﹣1）×19）∵在第4个店喝光了壶中酒，∴24a0﹣（23+22+21+1）×19=0，（或写成24a0﹣（24﹣1）×19=0）即16a0﹣15×19=0．解得：a0=171316，答：在第4个店喝光了壶中酒时，壶中原有171316升酒．

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