题目

函数 . （1） 讨论函数的极值； （2） 当 时，求函数 的零点个数. 答案： 解：由题意，函数 f(x)=ex−2ax−a ，可得 f′(x)=ex−2a ， 当 a≤0 时， f′(x)=ex−2a>0 ， f(x) 在 R 上为单调增函数，此时无极值； 当 a>0 时，令 f′(x)=ex−2a>0 ，解得 x>ln(2a) ， 所以 f(x) 在 (ln(2a),+∞) 上为单调增函数， 令 f′(x)=ex−2a<0 ，解得 x<ln(2a) ， f(x) 在 (−∞,ln(2a)) 上为单调减函数， 所以当 x=ln(2a) 时，函数 f(x) 取得极小值 f极小值=f(ln(2a))=a−2aln(2a) ，无极大值. 综上所述： 当 a≤0 时， f(x) 无极值， 当 a>0 时， f极小值=f(ln(2a))=a−2aln(2a) ，无极大值 解：由（1）知当 a>0 时， f(x) 在 (ln(2a),+∞) 上为单调增函数，在 (−∞,ln(2a)) 上为单调减函数，且 f极小值=a−2aln(2a) ， 又由 f(x)=ex−a(2x+1) ，若 x→−∞ 时， f(x)→+∞ ； 若 x→+∞ 时， f(x)→+∞ ； 当 a−2aln(2a)>0 ，即 0<a<e2 时， f(x) 无零点； 当 a−2aln(2a)=0 ，即 a=e2 时， f(x) 有1个零点； 当 a−2aln(2a)<0 ，即 a>e2 时， f(x) 有2个零点. 综上：当 0<a<e2 时， f(x) 无零点； 当 a=e2 时， f(x) 有1个零点； 当 a>e2 时， f(x) 有2个零点

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