题目

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，﹣2a）、C（﹣2a，0）在坐标轴上，点B（4a，2a）在第一象限，把线段AB平移，使点A与点C对应，点B与点D对应，连接AC、BD． （1） 用含a的式子表示点D坐标：D（，）； （2） 点P由D出发沿线段DC向终点C匀速运动，点P的横、纵坐标每秒都减少a个单位长度，作PM垂直x轴于点M，作BE垂直x轴于点E，点N从点E出发沿x轴负方向运动，速度为每秒a个单位长度，P、N两点同时出发，同时停止运动．当O为MN中点时，PM＝1，求B点坐标； （3） 在（2）的条件下，连接PN、DN，在整个运动过程中，当OM＝ ON时，求 的面积． 答案： 【1】2a【2】4a 如图2所示： 由题意得：P（2a﹣at，4a﹣at），M（2a﹣at，0），N（4a﹣at，0）， ∵O为MN中点， ∴OM＝ON， ∴ −(2a−at)=4a−at ， 解得：t＝3， 则PM＝4a﹣3a＝a， 又∵PM＝1， ∴a＝1， ∴B（4，2）； 由（2）得：a＝1， 分两种情况讨论： ①当M、N都在原点右侧时，如图所示： ∵ OM=13ON ， ∴ 2−t=13(4−t) ， ∴t＝1， 此时PM＝3，N（3，0），C（﹣2，0），D（2，4）， ∴ON＝3，OC＝2， ∴CN＝5， ∴ S△PND=S△CND−S△PCN=12×5×4−12×5×3=52, ②当M在原点左侧且N在原点右侧时，如图所示： 若 OM=13ON ，则 t−2=13(4−t) ， ∴ t=52 ， 此时 PM=32,CN=6−52=72, 则 S△PND=S△CND−S△PCN=12×72×4−12×72×32=358, 综上所述， △PND 的面积为 52 或 358 ．

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