题目

 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设 ， 则 ， 即 ， 解得.这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 ， 乙获胜的概率为 ， 每局比赛的结果互不影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局. （1） 如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率； （2） 如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为 ， 比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为 ， 期望为.①求甲获胜的概率；②求. 答案： 4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为C21×23×13×(23)2=1681；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为C21×23×13×(13)2=481，所以恰好4局结束比赛的概率1681+481=2081. ①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为P−1；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，P−2=23P−1，同理P−1=23P0+13P−2,P0=23P1+13P−1,P1=23P2+13P0,P2=23+13P1，由P1=23P2+13P0,P2=23+13P1，得P1=47+37P0，与P0=23P1+13P−1联立消去P1，得57P0=821+13P−1，又P−2=23P−1,P−1=23P0+13P−2，即P−1=67P0，因此P0=89，所以甲获胜的概率为89.②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要E(X−1)局，共进行了E(X−1)+1局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则E(X−2)=23[E(X−1)+1]+13×1，即E(X−2)=23E(X−1)+1，同理E(X−1)=23[E(X0)+1]+13[E(X−2)+1]，即E(X−1)=23E(X0)+13E(X−2)+1，E(X0)=23[E(X1)+1]+13[E(X−1)+1]，即E(X0)=23E(X1)+13E(X−1)+1，E(X1)=23[E(X2)+1]+13[E(X0)+1]，即E(X1)=23E(X2)+13E(X0)+1，E(X2)=23×1+13[E(X1)+1]，即E(X2)=13E(X1)+1，联立E(X1)=23E(X2)+13E(X0)+1与E(X2)=13E(X1)+1，得E(X1)=37E(X0)+157，联立E(X−2)=23E(X−1)+1与E(X−1)=23E(X0)+13E(X−2)+1，得E(X−1)=67E(X0)+127，代入E(X0)=23E(X1)+13E(X−1)+1，得E(X0)=23[37E(X0)+157]+13[67E(X0)+127]+1，所以E(X0)=7.

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